Задание 8. Найти производную: f(x) = x⁷ - 3eˣ + 2 sin x - 4x⁵ + 8x + 6

Решение:

Воспользуемся правилами дифференцирования:

• Производная степенной функции \( (x^n)' = nx^{n-1} \).
• Производная экспоненты \( (e^x)' = e^x \).
• Производная синуса \( (
  ⁡⁢⁩⁩⁩⁦⁧⁧⁥ x)' =
  ⁡⁢⁩⁩⁩⁦⁧⁧⁥ x \).
• Производная константы равна 0.
• Линейность производной: \( (cf(x))' = c f'(x) \) и \( (f(x)
  ++ g(x))' = f'(x)
  ++ g'(x) \).

Найдём производную каждого члена функции:

• \( (x^7)' = 7x^6 \)
• \( (-3e^x)' = -3e^x \)
• \( (2
  ⁡⁢⁩⁩⁩⁦⁧⁧⁥ x)' = 2
  ⁡⁢⁩⁩⁩⁦⁧⁧⁥ x \)
• \( (-4x^5)' = -4
  ++ 5x^4 = -20x^4 \)
• \( (8x)' = 8 \)
• \( (6)' = 0 \)

Сложим производные:

\[ f'(x) = 7x^6 - 3e^x + 2
⁡⁢⁩⁩⁩⁦⁧⁧⁥ x - 20x^4 + 8 \]

Ответ: \( f'(x) = 7x^6 - 3e^x + 2
⁡⁢⁩⁩⁩⁦⁧⁧⁥ x - 20x^4 + 8 \)