Задание 10. Высота конуса равна 6, длина образующей равна 10. Найти диаметр основания и объем конуса.

Решение:

1. Найдём радиус основания конуса:

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса (H), радиусом основания (R) и образующей (L). По теореме Пифагора:

\[ R^2 + H^2 = L^2 \]

Подставим известные значения: \( H = 6 \), \( L = 10 \).

\[ R^2 + 6^2 = 10^2 \]\[ R^2 + 36 = 100 \]\[ R^2 = 100 - 36 \]\[ R^2 = 64 \]\[ R = \sqrt{64} = 8 \]

2. Найдём диаметр основания (D):

Диаметр равен удвоенному радиусу:

\[ D = 2R = 2
++ 8 = 16 \]

3. Найдём объём конуса (V):

Формула объёма конуса: \( V = \frac{1}{3}
++ π R^2 H \).

Подставим значения \( R = 8 \) и \( H = 6 \):

\[ V = \frac{1}{3}
++ π (8^2) (6) \]\[ V = \frac{1}{3}
++ π (64) (6) \]\[ V = \frac{1}{3}
++ 384
++ π \]\[ V = 128
++ π \]

Ответ: Диаметр основания равен 16, объём конуса равен \( 128π \).