Задание 5. Решить уравнение: \(\sqrt{4x+3} = \sqrt{4x^2+5x-2}\)

Решение:

Возведём обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корней:

\[ (\sqrt{4x+3})^2 = (\sqrt{4x^2+5x-2})^2 \]\[ 4x+3 = 4x^2+5x-2 \]

Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\[ 4x^2 + 5x - 2 - 4x - 3 = 0 \]\[ 4x^2 + x - 5 = 0 \]

Решим полученное квадратное уравнение \( 4x^2 + x - 5 = 0 \) с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-5) = 1 + 80 = 81 \]

Найдем корни:

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{81}}{2 \cdot 4} = \frac{-1 + 9}{8} = \frac{8}{8} = 1 \]\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{81}}{2 \cdot 4} = \frac{-1 - 9}{8} = \frac{-10}{8} = -\frac{5}{4} \]

Теперь проверим найденные корни, подставив их в исходное уравнение, чтобы убедиться, что выражения под корнем неотрицательны.

Проверка для \( x_1 = 1 \):

\[ 4(1)+3 = 4+3 = 7 \]\[ 4(1)^2+5(1)-2 = 4+5-2 = 7 \]

Левая и правая части равны, значит \( x_1 = 1 \) — корень.

Проверка для \( x_2 = -5/4 \):

\[ 4(-\frac{5}{4})+3 = -5+3 = -2 \]

Выражение под корнем отрицательно, значит \( x_2 = -5/4 \) — посторонний корень.

Ответ: \( x = 1 \)