Задание 9. Основание прямоугольного параллелепипеда – квадрат. Найдите объём параллелепипеда, если его высота равна 7 см, а диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол 45°.

Решение:

1. Обозначим сторону основания квадрата как \( a \). Диагональ основания \( d_{осн} = a√2 \).
2. Обозначим диагональ параллелепипеда как \( D \).
3. Высота параллелепипеда \( H = 7 \) см.
4. Угол между диагональю параллелепипеда и плоскостью основания равен 45°. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой, диагональю основания и диагональю параллелепипеда, катет, противолежащий этому углу, — это высота, а прилежащий катет — диагональ основания.
5. \( \text{tg}(45^\text{о}) = \frac{H}{d_{осн}} \).
6. Так как \( \text{tg}(45^\text{о}) = 1 \), то \( H = d_{осн} \).
7. \( 7 = a√2 \).
8. Найдем сторону основания \( a = \frac{7}{√2} = \frac{7√2}{2} \) см.
9. Площадь основания \( S_{осн} = a^2 = (\frac{7√2}{2})^2 = \frac{49 2}{4} = \frac{98}{4} = \frac{49}{2} \) см².
10. Объём параллелепипеда \( V = S_{осн} H \).
11. \( V = \frac{49}{2} 7 = \frac{343}{2} = 171.5 \) см³.

Ответ: \( 171.5 \) см³.