Задание 9. Основание прямоугольного параллелепипеда — квадрат. Найдите объём параллелепипеда, если его высота равна 7 см, а диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол 45°.

Решение:

Дано: Прямоугольный параллелепипед, основание — квадрат. Высота \( h = 7 \) см. Угол между диагональю параллелепипеда и плоскостью основания \( \alpha = 45° \).

Найти: Объём параллелепипеда \( V \).

Объём прямоугольного параллелепипеда равен \( V = S_{осн} \cdot h \), где \( S_{осн} \) — площадь основания.

Так как основание — квадрат, \( S_{осн} = a^2 \), где \( a \) — сторона квадрата.

Пусть \( d \) — диагональ параллелепипеда, \( d_{осн} \) — диагональ основания.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой параллелепипеда \( h \), диагональю основания \( d_{осн} \) и диагональю параллелепипеда \( d \). Угол между диагональю параллелепипеда и плоскостью основания — это угол \( \alpha \) между \( d \) и \( d_{осн} \).

В этом прямоугольном треугольнике:

\( \operatorname{tg} \alpha = \frac{h}{d_{осн}} \)

Так как \( \alpha = 45° \), \( \operatorname{tg} 45° = 1 \).

\( 1 = \frac{7}{d_{осн}} \) \(\implies\) \( d_{осн} = 7 \) см.

Диагональ квадрата связана со стороной \( a \) соотношением \( d_{осн} = a\sqrt{2} \).

\( 7 = a\sqrt{2} \)

\( a = \frac{7}{\sqrt{2}} = \frac{7\sqrt{2}}{2} \) см.

Теперь найдем площадь основания:

\( S_{осн} = a^2 = \left(\frac{7\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{49 \cdot 2}{4} = \frac{98}{4} = \frac{49}{2} = 24.5 \) см².

Вычислим объём параллелепипеда:

\( V = S_{осн} \cdot h = 24.5 \cdot 7 = 171.5 \) см³.

Ответ: \( 171.5 \) см³.