Задание 7 Решите уравнение: 25^x - 20 * 5^x - 125 = 0

Решение:

Решим показательное уравнение \( 25^x - 20 \cdot 5^x - 125 = 0 \).

Заметим, что \( 25^x = (5^2)^x = (5^x)^2 \).

Сделаем замену переменной: пусть \( t = 5^x \). Так как \( 5^x > 0 \) для любого \( x \), то \( t > 0 \).

Уравнение примет вид:

\( t^2 - 20t - 125 = 0 \)

Решим полученное квадратное уравнение относительно \( t \). Найдем дискриминант:

\( D = (-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-125) = 400 + 500 = 900 \)

Найдем корни \( t \):

\( t_1 = \frac{20 + \sqrt{900}}{2 \cdot 1} = \frac{20 + 30}{2} = \frac{50}{2} = 25 \)

\( t_2 = \frac{20 - \sqrt{900}}{2 \cdot 1} = \frac{20 - 30}{2} = \frac{-10}{2} = -5 \)

Так как \( t > 0 \), то \( t = 25 \) является единственным допустимым решением.

Вернемся к замене: \( 5^x = t \).

\( 5^x = 25 \)

\( 5^x = 5^2 \)

Следовательно, \( x = 2 \).

Ответ: \( x = 2 \).