Задание 6. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y = -x² + 2x + 3, y = 0, x = 0, x = 2

Решение:

Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями \( y = -x^2 + 2x + 3 \), \( y = 0 \), \( x = 0 \) и \( x = 2 \), нужно вычислить определенный интеграл от функции \( y = -x^2 + 2x + 3 \) в пределах от \( x=0 \) до \( x=2 \).

Прежде всего, проверим, находится ли парабола \( y = -x^2 + 2x + 3 \) над осью \( x \) на заданном интервале. Найдем корни уравнения \( -x^2 + 2x + 3 = 0 \):

\( x^2 - 2x - 3 = 0 \)

\( D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \)

\( x_1 = \frac{2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{2 + 4}{2} = 3 \)

\( x_2 = \frac{2 - \sqrt{16}}{2} = \frac{2 - 4}{2} = -1 \)

Так как интервал \( [0, 2] \) находится между корнями \( -1 \) и \( 3 \), и ветви параболы \( y = -x^2 + 2x + 3 \) направлены вниз, функция положительна на этом интервале.

Площадь \( S \) вычисляется как:

\( S = \int_{0}^{2} (-x^2 + 2x + 3) dx \)

Найдем первообразную:

\( F(x) = -\frac{x^3}{3} + 2\frac{x^2}{2} + 3x = -\frac{x^3}{3} + x^2 + 3x \)

Вычислим определенный интеграл:

\( S = F(2) - F(0) = \left(-\frac{2^3}{3} + 2^2 + 3 \cdot 2\right) - \left(-\frac{0^3}{3} + 0^2 + 3 \cdot 0\right) \)

\( S = \left(-\frac{8}{3} + 4 + 6\right) - (0) \)

\( S = -\frac{8}{3} + 10 \)

\( S = \frac{-8 + 30}{3} = \frac{22}{3} \)

Ответ: \( \frac{22}{3} \) квадратных единиц.