Задание 6. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y = -x²+2x+3, y = 0, x = 0, x = 2

Решение:

1. Площадь фигуры, ограниченной графиком функции \( y = f(x) \), осью Ox и прямыми \( x = a \) и \( x = b \), вычисляется по формуле \( S = |∫_{a}^{b} f(x) dx| \).
2. В данном случае \( f(x) = -x^2 + 2x + 3 \), \( a = 0 \), \( b = 2 \).
3. Найдем первообразную для функции \( f(x) \): \( F(x) = ∫ (-x^2 + 2x + 3) dx = -\frac{x^3}{3} + x^2 + 3x \).
4. Вычислим определенный интеграл: \( S = |F(2) - F(0)| \).
5. \( F(2) = -\frac{2^3}{3} + 2^2 + 3(2) = -\frac{8}{3} + 4 + 6 = 10 - \frac{8}{3} = \frac{30 - 8}{3} = \frac{22}{3} \).
6. \( F(0) = -\frac{0^3}{3} + 0^2 + 3(0) = 0 \).
7. \( S = |\frac{22}{3} - 0| = \frac{22}{3} \).

Ответ: \( \frac{22}{3} \) квадратных единиц.