Задание 1. Найдите область определения функции: y = \(\sqrt[4]{-x^2 + 2x + 8}\)

Решение:

Для нахождения области определения функции \( y = \sqrt[4]{-x^2 + 2x + 8} \) необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным:

\( -x^2 + 2x + 8 \ge 0 \)

Умножим неравенство на -1 и сменим знак:

\( x^2 - 2x - 8 \le 0 \)

Найдем корни квадратного трехчлена \( x^2 - 2x - 8 = 0 \):

\( D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 \)

\( x_1 = \frac{2 + \sqrt{36}}{2} = \frac{2 + 6}{2} = 4 \)

\( x_2 = \frac{2 - \sqrt{36}}{2} = \frac{2 - 6}{2} = -2 \)

Так как ветви параболы \( y = x^2 - 2x - 8 \) направлены вверх, то \( x^2 - 2x - 8 \le 0 \) при \( x \) между корнями.

\( -2 \le x \le 4 \)

Ответ: \( [-2; 4] \).