Задание 3. Решите уравнение: 2sin8x - √2 = 0

Решение:

Решим тригонометрическое уравнение \( 2\sin 8x - \sqrt{2} = 0 \).

\( 2\sin 8x = \sqrt{2} \)

\( \sin 8x = \frac{\sqrt{2}}{2} \)

Общее решение уравнения \( \sin \alpha = a \) имеет вид \( \alpha = (-1)^n \arcsin a + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

В нашем случае \( \alpha = 8x \) и \( a = \frac{\sqrt{2}}{2} \). Знаем, что \( \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4} \).

\( 8x = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n \)

Разделим обе части на 8:

\( x = \frac{(-1)^n \pi}{32} + \frac{\pi n}{8} \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x = \frac{(-1)^n \pi}{32} + \frac{\pi n}{8} \), \( n \in \mathbb{Z} \).