Задание 8. Высота конуса равна 15 см, а длина образующей — 30см. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Решение:

Дано: Высота конуса \( h = 15 \) см, длина образующей \( l = 30 \) см.

Найти: Площадь боковой поверхности конуса \( S_{бок} \).

Формула для площади боковой поверхности конуса: \( S_{бок} = \pi R l \), где \( R \) — радиус основания конуса, \( l \) — длина образующей.

Сначала найдем радиус основания \( R \), используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного высотой, радиусом и образующей конуса: \( l^2 = h^2 + R^2 \).

\( 30^2 = 15^2 + R^2 \)

\( 900 = 225 + R^2 \)

\( R^2 = 900 - 225 \)

\( R^2 = 675 \)

\( R = \sqrt{675} = \sqrt{225 \cdot 3} = 15\sqrt{3} \) см.

Теперь вычислим площадь боковой поверхности:

\( S_{бок} = \pi R l = \pi \cdot (15\sqrt{3}) \cdot 30 \)

\( S_{бок} = 450\sqrt{3} \pi \) см².

Ответ: \( 450\sqrt{3} \pi \) см².