Задание 10. Внешний диаметр полого шара равен 10 см, толщина стенок равна 2 см. Найдите объем материала из которого изготовлен шар.

Решение:

Дано: Внешний диаметр шара \( D_{внеш} = 10 \) см. Толщина стенок \( \Delta R = 2 \) см.

Найти: Объём материала шара \( V_{материала \).

Внешний радиус шара: \( R_{внеш} = \frac{D_{внеш}}{2} = \frac{10}{2} = 5 \) см.

Внутренний радиус шара: \( R_{внутр} = R_{внеш} - \Delta R = 5 - 2 = 3 \) см.

Объём материала шара равен разности объёма внешнего шара и объёма внутреннего (полости) шара.

Формула объёма шара: \( V = \frac{4}{3} \pi R^3 \).

Объём внешнего шара: \( V_{внеш} = \frac{4}{3} \pi R_{внеш}^3 = \frac{4}{3} \pi (5)^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 125 = \frac{500}{3} \pi \) см³.

Объём внутренней полости: \( V_{внутр} = \frac{4}{3} \pi R_{внутр}^3 = \frac{4}{3} \pi (3)^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 27 = 4 \pi \cdot 9 = 36 \pi \) см³.

Объём материала: \( V_{материала} = V_{внеш} - V_{внутр} \).

\( V_{материала} = \frac{500}{3} \pi - 36 \pi = \pi \left(\frac{500}{3} - 36\right) \)

\( V_{материала} = \pi \left(\frac{500 - 36 \cdot 3}{3}\right) = \pi \left(\frac{500 - 108}{3}\right) = \frac{392}{3} \pi \) см³.

Ответ: \( \frac{392}{3} \pi \) см³.