Задание 4. Найдите промежутки возрастания и убывания функции: y = -x³ + 4x² - 4x

Решение:

Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции \( y = -x^3 + 4x^2 - 4x \) найдем её производную:

\( y' = (-x^3 + 4x^2 - 4x)' = -3x^2 + 8x - 4 \)

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

\( -3x^2 + 8x - 4 = 0 \)

Умножим на -1:

\( 3x^2 - 8x + 4 = 0 \)

Найдем дискриминант:

\( D = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 64 - 48 = 16 \)

Найдем корни:

\( x_1 = \frac{8 + \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{8 + 4}{6} = \frac{12}{6} = 2 \)

\( x_2 = \frac{8 - \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{8 - 4}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \)

Критические точки: \( x = 2 \) и \( x = \frac{2}{3} \).

Определим знаки производной на интервалах:

• При \( x < \frac{2}{3} \) (например, \( x=0 \)): \( y' = -3(0)^2 + 8(0) - 4 = -4 \) (функция убывает).
• При \( \frac{2}{3} < x < 2 \) (например, \( x=1 \)): \( y' = -3(1)^2 + 8(1) - 4 = -3 + 8 - 4 = 1 \) (функция возрастает).
• При \( x > 2 \) (например, \( x=3 \)): \( y' = -3(3)^2 + 8(3) - 4 = -27 + 24 - 4 = -7 \) (функция убывает).

Ответ: Функция убывает на \( (-\infty; \frac{2}{3}] \) и \( [2; +\infty) \). Функция возрастает на \( [\frac{2}{3}; 2] \).