Задание 4. Найдите промежутки возрастания и убывания функции: y = -x³ + 4x² - 4x

Решение:

1. Найдем производную функции \( y = -x^3 + 4x^2 - 4x \): \( y' = -3x^2 + 8x - 4 \).
2. Найдем точки, в которых производная равна нулю: \( -3x^2 + 8x - 4 = 0 \).
3. Решим квадратное уравнение. Умножим на -1: \( 3x^2 - 8x + 4 = 0 \).
4. Найдем дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4(3)(4) = 64 - 48 = 16 \).
5. Найдем корни: \( x_1 = \frac{-b + √ D}{2a} = \frac{8 + √16}{2(3)} = \frac{8 + 4}{6} = \frac{12}{6} = 2 \) \( x_2 = \frac{-b - √ D}{2a} = \frac{8 - √16}{2(3)} = \frac{8 - 4}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \)
6. Определим знаки производной на интервалах, образованных корнями: \( (-∞, \frac{2}{3}) \), \( (\frac{2}{3}, 2) \), \( (2, +∞) \).
7. На интервале \( (-∞, \frac{2}{3}) \) возьмем \( x=0 \): \( y'(0) = -4 < 0 \) — функция убывает.
8. На интервале \( (\frac{2}{3}, 2) \) возьмем \( x=1 \): \( y'(1) = -3(1)^2 + 8(1) - 4 = -3 + 8 - 4 = 1 > 0 \) — функция возрастает.
9. На интервале \( (2, +∞) \) возьмем \( x=3 \): \( y'(3) = -3(3)^2 + 8(3) - 4 = -27 + 24 - 4 = -7 < 0 \) — функция убывает.

Ответ: Функция возрастает на интервале \( (\frac{2}{3}, 2) \). Функция убывает на интервалах \( (-∞, \frac{2}{3}) \) и \( (2, +∞) \).