Задание 6. Найдите tga, если cosa = \( \frac{\sqrt{10}}{8} \) и \( \alpha \in (\frac{3\pi}{2}; 2\pi) \).

Решение:

1. Используем основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \).
2. Вычислим \( \sin^2\alpha \): \[ \sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - \left(\frac{\sqrt{10}}{8}\right)^2 = 1 - \frac{10}{64} = 1 - \frac{5}{32} = \frac{32-5}{32} = \frac{27}{32} \].
3. Найдем \( \sin\alpha \). Так как \( \alpha \in (\frac{3\pi}{2}; 2\pi) \) (четвертый квадрант), синус отрицательный: \[ \sin\alpha = -\sqrt{\frac{27}{32}} = -\sqrt{\frac{9 \times 3}{16 \times 2}} = -\frac{3\sqrt{3}}{4\sqrt{2}} = -\frac{3\sqrt{6}}{8} \].
4. Найдем \( \tan\alpha \) по формуле: \[ \tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{-\frac{3\sqrt{6}}{8}}{\frac{\sqrt{10}}{8}} \].
5. Упростим: \[ \tan\alpha = -\frac{3\sqrt{6}}{\sqrt{10}} = -3\sqrt{\frac{6}{10}} = -3\sqrt{\frac{3}{5}} = -3\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}} = -3\frac{\sqrt{15}}{5} \].

Ответ: \( -\frac{3\sqrt{15}}{5} \).