Вычислите определенный интеграл: \( \int_{1}^{2} 8x^3 dx \)

Решение:

Чтобы вычислить определенный интеграл \( \int_{1}^{2} 8x^3 dx \), сначала найдем первообразную функции \( 8x^3 \), а затем применим формулу Ньютона-Лейбница.

1. Находим первообразную:
• \( \int 8x^3 dx = 8 \int x^3 dx = 8 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} = 8 \cdot \frac{x^4}{4} = 2x^4 \)
2. Применяем формулу Ньютона-Лейбница: \( \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) \)
• \( \int_{1}^{2} 8x^3 dx = [2x^4]_{1}^{2} = 2(2)^4 - 2(1)^4 \)
• \( = 2 \cdot 16 - 2 \cdot 1 \)
• \( = 32 - 2 \)
• \( = 30 \)

Ответ: 30.