b) 3sin^2x - 7sin x + 4 = 0

Решение:

Данное уравнение \( 3\sin^2x - 7\sin x + 4 = 0 \) является квадратным относительно \( \sin x \).

1. Введём замену: Пусть \( y = \sin x \). Тогда уравнение примет вид:
• \[ 3y^2 - 7y + 4 = 0 \]
2. Решим квадратное уравнение относительно \( y \):
• Найдём дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 49 - 48 = 1 \).
• Найдем корни:
• \[ y_1 = \frac{-(-7) + \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{7 + 1}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \]
• \[ y_2 = \frac{-(-7) - \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{7 - 1}{6} = \frac{6}{6} = 1 \]
3. Вернёмся к замене: \( \sin x = y \).
• Случай 1: \( \sin x = \frac{4}{3} \).
• Так как значение синуса не может быть больше 1, это уравнение не имеет решений.
• Случай 2: \( \sin x = 1 \).
• Общее решение этого уравнения: \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

Ответ: x = \(\frac{\pi}{2}\) + 2\(\pi\) n, n ∈ ℤ.