5. Найдите первообразную функции: f(x) = 7x^6 + 8x^3 - 6x + 9.

Решение:

Чтобы найти первообразную функции \( f(x) = 7x^6 + 8x^3 - 6x + 9 \), нужно проинтегрировать её. Первообразная функции \( F(x) \) находится по формуле:

\[ F(x) = \int f(x) dx = \int (7x^6 + 8x^3 - 6x + 9) dx \]

Используем правила интегрирования:

• \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \) (где \( n \neq -1 \))
• \( \int C f(x) dx = C \int f(x) dx \)
• \( \int (f(x) + g(x)) dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx \)

Проинтегрируем каждый член:

• \( \int 7x^6 dx = 7 \int x^6 dx = 7 \cdot \frac{x^{6+1}}{6+1} = 7 \cdot \frac{x^7}{7} = x^7 \)
• \( \int 8x^3 dx = 8 \int x^3 dx = 8 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} = 8 \cdot \frac{x^4}{4} = 2x^4 \)
• \( \int -6x dx = -6 \int x^1 dx = -6 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} = -6 \cdot \frac{x^2}{2} = -3x^2 \)
• \( \int 9 dx = 9x \)

Складываем все полученные части и добавляем константу интегрирования \( C \):

\[ F(x) = x^7 + 2x^4 - 3x^2 + 9x + C \]

Ответ: F(x) = x^7 + 2x^4 - 3x^2 + 9x + C.