262 В треугольниках АВС и А,В,С, углы Аи А прямые, BD и В₁D, — биссектрисы. Докажите, что ДАВС = ∆ABC, если ∠B = ∠B₁ и BD = B₁D₁.

Доказательство:

1) Рассмотрим треугольники ABD и A₁B₁D₁. - ∠A = ∠A₁ = 90° (по условию). - BD = B₁D₁ (по условию). - ∠ABD = ∠A₁B₁D₁ (так как BD и B₁D₁ - биссектрисы и ∠B = ∠B₁). 2) Следовательно, треугольники ABD и A₁B₁D₁ равны по гипотенузе и острому углу (второй признак равенства прямоугольных треугольников). 3) Из равенства треугольников следует равенство катетов AB = A₁B₁. 4) Рассмотрим треугольники ABC и A₁B₁C₁. - ∠A = ∠A₁ = 90° (по условию). - AB = A₁B₁ (доказано выше). - ∠B = ∠B₁ (по условию). 5) Следовательно, треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны по катету и прилежащему острому углу (второй признак равенства прямоугольных треугольников). Что и требовалось доказать.

Проверка за 10 секунд: Вспомни признаки равенства прямоугольных треугольников и проверь, какие из них можно применить.

Читерский прием: Если в задаче есть биссектрисы, ищи равные углы и используй их для доказательства равенства треугольников.