В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка О — центр основания, S — вершина, SO = 54, АС = 144. Найдите боковое ребро SB.

Решение:

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD:

• O — центр основания ABCD (квадрат).
• S — вершина.
• SO — высота пирамиды, \( SO = 54 \).
• AC — диагональ основания, \( AC = 144 \).
• SB — боковое ребро, которое нужно найти.

В квадрате ABCD диагонали пересекаются в точке O и делятся пополам. Следовательно:

\( AO = OC = \frac{AC}{2} = \frac{144}{2} = 72 \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle SOC \) (так как SO — высота, она перпендикулярна плоскости основания, и, следовательно, перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, проходящей через O, включая OC).

По теореме Пифагора в \( \triangle SOC \):

\( SC^2 = SO^2 + OC^2 \)

\( SC^2 = 54^2 + 72^2 \)

Вычислим квадраты:

\( 54^2 = (50+4)^2 = 2500 + 2 × 50 × 4 + 16 = 2500 + 400 + 16 = 2916 \)

\( 72^2 = (70+2)^2 = 4900 + 2 × 70 × 2 + 4 = 4900 + 280 + 4 = 5184 \)

\( SC^2 = 2916 + 5184 = 8100 \)

\( SC = √{8100} = 90 \).

Так как пирамида правильная, все боковые ребра равны: \( SA = SB = SC = SD \).

Следовательно, \( SB = 90 \).

Ответ: SB = 90.