Найдите значение выражения \( \frac{\sqrt{81b^7}}{\sqrt[4]{b^5}} \) при \( b > 0 \).

Решение:

Для начала представим корни в виде степеней:

\( \sqrt{81b^7} = (81b^7)^{\frac{1}{2}} = 81^{\frac{1}{2}} × (b^7)^{\frac{1}{2}} = 9 × b^{\frac{7}{2}} \)

\( \sqrt[4]{b^5} = (b^5)^{\frac{1}{4}} = b^{\frac{5}{4}} \)

Теперь подставим это в исходное выражение:

\( \frac{9 × b^{\frac{7}{2}}}{b^{\frac{5}{4}}} \)

При делении степеней с одинаковым основанием вычитаем показатели:

\( b^{\frac{7}{2}} / b^{\frac{5}{4}} = b^{\frac{7}{2} - \frac{5}{4}} \)

Приведем дроби к общему знаменателю 4:

\( \frac{7}{2} = \frac{14}{4} \)

\( \frac{14}{4} - \frac{5}{4} = \frac{9}{4} \)

Таким образом, выражение принимает вид:

\( 9 × b^{\frac{9}{4}} \)

Это можно записать как \( 9 × \sqrt[4]{b^9} \).

Ответ: \( 9b^{\frac{9}{4}} \) или \( 9 × \sqrt[4]{b^9} \)