Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно 4 см и образует с плоскостью основания пирамиды угол 45°. а) Найдите высоту пирамиды. б) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Решение:

Обозначим пирамиду как PABCD, где O — центр основания, S — вершина. Боковое ребро — SC = 4 см. Угол между боковым ребром и плоскостью основания — \( \angle SCO = 45^{\circ} \).

а) Нахождение высоты пирамиды:

В прямоугольном треугольнике \( \triangle SCO \) (угол \( \angle SOC = 90^{\circ} \)):

Высота пирамиды SO является катетом, противолежащим углу \( \angle SCO \).

\( \sin(\angle SCO) = \frac{SO}{SC} \)

\( SO = SC \cdot \sin(\angle SCO) \)

\( SO = 4 \text{ см} \cdot \sin(45^{\circ}) \)

\( SO = 4 \text{ см} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \)

\( SO = 2\sqrt{2} \text{ см} \)

б) Нахождение площади боковой поверхности пирамиды:

Правильная четырехугольная пирамида имеет 4 равные боковые грани — треугольники.

Сначала найдем сторону основания (AB).

В \( \triangle SCO \), найдем OC (половина диагонали основания):

\( \cos(\angle SCO) = \frac{OC}{SC} \)

\( OC = SC \cdot \cos(\angle SCO) \)

\( OC = 4 \text{ см} \cdot \cos(45^{\circ}) \)

\( OC = 4 \text{ см} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \)

\( OC = 2\sqrt{2} \text{ см} \)

Диагональ основания \( AC = 2 \cdot OC = 2 \cdot 2\sqrt{2} \text{ см} = 4\sqrt{2} \text{ см} \).

В квадрате (основание пирамиды) диагональ \( AC = a\sqrt{2} \), где \( a \) — сторона основания.

\( 4\sqrt{2} \text{ см} = a\sqrt{2} \Rightarrow a = 4 \text{ см} \).

Теперь найдем апофему (высоту боковой грани) — SK, где K — середина стороны CD.

В \( \triangle SOC \), \( ⌥ K \) — середина CD. \( OK \) — половина стороны основания, \( OK = \frac{a}{2} = \frac{4}{2} = 2 \text{ см} \).

В прямоугольном треугольнике \( \triangle SOK \) (угол \( \angle SOK = 90^{\circ} \)):

\( SK^2 = SO^2 + OK^2 \)

\( SK^2 = (2\sqrt{2})^2 + 2^2 \)

\( SK^2 = (4 × 2) + 4 \)

\( SK^2 = 8 + 4 = 12 \)

\( SK = \sqrt{12} = \sqrt{4 × 3} = 2\sqrt{3} \text{ см} \) (апофема).

Площадь одной боковой грани (треугольника SCD):

\( S_{грани} = \frac{1}{2} × CD × SK \)

\( S_{грани} = \frac{1}{2} × 4 \text{ см} \times 2\sqrt{3} \text{ см} = 4\sqrt{3} \text{ см}^2 \)

Площадь боковой поверхности пирамиды (4 грани):

\( S_{бок} = 4 × S_{грани} = 4 × 4\sqrt{3} \text{ см}^2 = 16\sqrt{3} \text{ см}^2 \)

Ответ: а) Высота пирамиды \( SO = 2\sqrt{2} \) см. б) Площадь боковой поверхности \( S_{бок} = 16\sqrt{3} \) см².