Сколько вариантов экзаменационных билетов можно составить, выбирая из 20 заданий три?

Решение:

Эта задача решается с помощью формулы сочетаний, так как порядок выбора заданий в билете не имеет значения (билет из заданий 1, 2, 3 такой же, как и из 3, 1, 2).

Формула для числа сочетаний из \( n \) по \( k \) элементов: \( C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \)

В данном случае \( n = 20 \) (общее количество заданий) и \( k = 3 \) (количество заданий в билете).

\( C_{20}^3 = \frac{20!}{3!(20-3)!} = \frac{20!}{3!17!} \)

Распишем факториалы:

\( C_{20}^3 = \frac{20 \times 19 \times 18 \times 17!}{3 \times 2 \times 1 \times 17!} \)

Сократим \( 17! \):

\( C_{20}^3 = \frac{20 \times 19 \times 18}{3 \times 2 \times 1} \)

Вычислим:

\( C_{20}^3 = \frac{20 \times 19 \times 18}{6} \)

\( C_{20}^3 = 20 \times 19 \times 3 \)

\( C_{20}^3 = 380 \times 3 \)

\( C_{20}^3 = 1140 \)

Ответ: 1140 вариантов.