Решите уравнение: 6cos^{2}x + 7sin x - 7 = 0.

Решение:

1. Заменим \( \cos^2 x \) через \( 1 - \sin^2 x \) согласно основному тригонометрическому тождеству: \( \cos^2 x + \sin^2 x = 1 \).
2. \( 6(1 - \sin^2 x) + 7\sin x - 7 = 0 \)
3. Раскроем скобки: \( 6 - 6\sin^2 x + 7\sin x - 7 = 0 \)
4. Приведем подобные члены: \( -6\sin^2 x + 7\sin x - 1 = 0 \)
5. Умножим уравнение на -1 для удобства: \( 6\sin^2 x - 7\sin x + 1 = 0 \)
6. Сделаем замену переменной. Пусть \( t = \sin x \). Тогда уравнение примет вид: \( 6t^2 - 7t + 1 = 0 \).
7. Решим квадратное уравнение относительно \( t \). Найдем дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 49 - 24 = 25 \).
8. \( \sqrt{D} = \sqrt{25} = 5 \).
9. Найдем корни:
• \( t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 5}{2 \cdot 6} = \frac{12}{12} = 1 \)
• \( t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 5}{2 \cdot 6} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6} \)
10. Теперь вернемся к замене \( t = \sin x \).
• Случай 1: \( \sin x = 1 \).
• Общее решение: \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).
• Случай 2: \( \sin x = \frac{1}{6} \).
• Общее решение: \( x = \arcsin(\frac{1}{6}) + 2\pi n \) и \( x = \pi - \arcsin(\frac{1}{6}) + 2\pi m \), где \( n, m \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \), \( x = \arcsin(\frac{1}{6}) + 2\pi n \), \( x = \pi - \arcsin(\frac{1}{6}) + 2\pi m \), где \( k, n, m \in \mathbb{Z} \).