Решите уравнение: log_{25} (2 - 3x) = \(\frac{1}{2}\)

Решение:

1. Переведем логарифмическое уравнение в показательное. По определению логарифма, если \( \log_a b = c \), то \( a^c = b \).
2. В нашем случае \( a = 25 \), \( b = 2 - 3x \), \( c = \frac{1}{2} \).
3. Получаем: \( 25^{\frac{1}{2}} = 2 - 3x \)
4. Вычислим \( 25^{\frac{1}{2}} \): \( \sqrt{25} = 5 \).
5. Уравнение примет вид: \( 5 = 2 - 3x \)
6. Перенесем 2 в левую часть: \( 5 - 2 = -3x \)
7. \( 3 = -3x \)
8. Разделим обе части на -3: \( x = \frac{3}{-3} \)
9. \( x = -1 \)
10. Проверим условие существования логарифма: подкоренное выражение должно быть положительным: \( 2 - 3x > 0 \).
11. Подставим \( x = -1 \): \( 2 - 3(-1) = 2 + 3 = 5 > 0 \). Условие выполнено.

Ответ: \( x = -1 \).