Найдите производную функции: y= 4√x + 6x + 2.

Решение:

Для нахождения производной используем правила дифференцирования:

• Производная суммы равна сумме производных: \( (f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x) \).
• Производная константы равна нулю: \( (C)' = 0 \).
• Производная \( x^n \) равна \( n x^{n-1} \).
• Производная \( \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}} \) равна \( \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \).

Найдем производную каждого слагаемого:

• Производная \( 4\sqrt{x} \): \( (4\sqrt{x})' = 4 \cdot (\sqrt{x})' = 4 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{2}{\sqrt{x}} \).
• Производная \( 6x \): \( (6x)' = 6 \cdot (x)' = 6 \cdot 1 = 6 \).
• Производная \( 2 \): \( (2)' = 0 \).

Сложим производные:

\( y' = \frac{2}{\sqrt{x}} + 6 + 0 \)

\( y' = \frac{2}{\sqrt{x}} + 6 \)

Можно также привести к общему знаменателю:

\( y' = \frac{2 + 6\sqrt{x}}{\sqrt{x}} \)

Ответ: \( y' = \frac{2}{\sqrt{x}} + 6 \) или \( y' = \frac{2 + 6\sqrt{x}}{\sqrt{x}} \).