Найдите экстремумы функции: \( f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x \).

Решение:

1. Найдем производную функции:
2. \( f'(x) = (\frac{1}{3}x^3 - x)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 - 1 = x^2 - 1 \).
3. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:
4. \( x^2 - 1 = 0 \)
5. \( x^2 = 1 \)
6. \( x = \pm 1 \).
7. Критические точки: \( x_1 = -1 \) и \( x_2 = 1 \).
8. Определим знаки производной на интервалах, образованных критическими точками.
• На интервале \( (-\infty, -1) \), например, при \( x = -2 \): \( f'(-2) = (-2)^2 - 1 = 4 - 1 = 3 > 0 \). Функция возрастает.
• На интервале \( (-1, 1) \), например, при \( x = 0 \): \( f'(0) = 0^2 - 1 = -1 < 0 \). Функция убывает.
• На интервале \( (1, \infty) \), например, при \( x = 2 \): \( f'(2) = 2^2 - 1 = 4 - 1 = 3 > 0 \). Функция возрастает.
9. Точка \( x = -1 \) является точкой локального максимума, так как производная меняет знак с "+" на "-".
10. Точка \( x = 1 \) является точкой локального минимума, так как производная меняет знак с "-" на "+".
11. Найдем значения функции в этих точках:
• Локальный максимум: \( f(-1) = \frac{1}{3}(-1)^3 - (-1) = \frac{1}{3}(-1) + 1 = -\frac{1}{3} + 1 = \frac{2}{3} \).
• Локальный минимум: \( f(1) = \frac{1}{3}(1)^3 - 1 = \frac{1}{3} - 1 = -\frac{2}{3} \).

Ответ: локальный максимум \( f(-1) = \frac{2}{3} \), локальный минимум \( f(1) = -\frac{2}{3} \).