Решите систему уравнений: \(\begin{cases} \frac{2^x}{2^y} = 16, \\ x+y = 9. \end{cases}\)

Решение:

1. Упростим первое уравнение системы, используя свойство степеней \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \):
2. \( 2^{x-y} = 16 \)
3. Представим 16 как степень двойки: \( 16 = 2^4 \).
4. \( 2^{x-y} = 2^4 \)
5. Приравниваем показатели степеней: \( x-y = 4 \).
6. Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений:
• \(\begin{cases} x-y = 4 \\ x+y = 9 \end{cases}\)
7. Сложим оба уравнения системы, чтобы исключить \( y \):
8. \( (x-y) + (x+y) = 4 + 9 \)
9. \( 2x = 13 \)
10. \( x = \frac{13}{2} \)
11. Подставим значение \( x \) во второе уравнение системы:
12. \( \frac{13}{2} + y = 9 \)
13. \( y = 9 - \frac{13}{2} \)
14. \( y = \frac{18}{2} - \frac{13}{2} \)
15. \( y = \frac{5}{2} \)

Ответ: \( x = \frac{13}{2}, y = \frac{5}{2} \).