Решите уравнение: x-2 = 2 + \(\sqrt{2x + 7}\).

Решение:

1. Изолируем корень: \( x - 2 - 2 = \sqrt{2x+7} \)
2. \( x - 4 = \sqrt{2x+7} \)
3. Возведем обе части уравнения в квадрат: \( (x-4)^2 = 2x+7 \)
4. Раскроем скобки: \( x^2 - 8x + 16 = 2x + 7 \)
5. Перенесем все члены в одну часть: \( x^2 - 8x - 2x + 16 - 7 = 0 \)
6. \( x^2 - 10x + 9 = 0 \)
7. Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 100 - 36 = 64 \).
8. \( \sqrt{D} = \sqrt{64} = 8 \).
9. Найдем корни:
• \( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 + 8}{2} = \frac{18}{2} = 9 \)
• \( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 - 8}{2} = \frac{2}{2} = 1 \)
10. Проверим найденные корни в исходном уравнении.
• Для \( x=9 \): \( 9-2 = 7 \) и \( 2 + \sqrt{2 \cdot 9 + 7} = 2 + \sqrt{18+7} = 2 + \sqrt{25} = 2 + 5 = 7 \). Корень \( x=9 \) подходит.
• Для \( x=1 \): \( 1-2 = -1 \) и \( 2 + \sqrt{2 \cdot 1 + 7} = 2 + \sqrt{2+7} = 2 + \sqrt{9} = 2 + 3 = 5 \). \( -1 \neq 5 \). Корень \( x=1 \) не подходит.

Ответ: \( x = 9 \).