Решите уравнения: 2 sin²x + 5 sin x - 3 = 0.

Решение:

Это квадратное уравнение относительно \( \sin x \). Введём замену: \( t = \sin x \). Получим уравнение: \( 2t^2 + 5t - 3 = 0 \).

1. Найдём дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 \).
2. Найдём корни \( t \): \( t_1 = \frac{-5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 + 7}{4} = \frac{2}{4} = 0,5 \)
3. \( t_2 = \frac{-5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 - 7}{4} = \frac{-12}{4} = -3 \).
4. Вернёмся к замене: \( \sin x = 0,5 \) или \( \sin x = -3 \).
5. Уравнение \( \sin x = -3 \) не имеет решений, так как область значений синуса \( [-1; 1] \).
6. Решим уравнение \( \sin x = 0,5 \). Общий вид решений: \( x = (-1)^n \arcsin(0,5) + \pi n, n \in \mathbb{Z} \).
7. Так как \( \arcsin(0,5) = \frac{\pi}{6} \), то \( x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \).