7. Последовательность (aₙ) задана формулой aₙ = n² - 2n + 3. Является ли членом последовательности число: a) 3; б) 66; в) 103?

Решение:

a) Проверим, является ли число 3 членом последовательности:

\[ n^2 - 2n + 3 = 3 \] \[ n^2 - 2n = 0 \] \[ n(n - 2) = 0 \]

Отсюда n = 0 или n = 2. Так как n должно быть натуральным числом, то n = 2 подходит. Значит, 3 является членом последовательности.

б) Проверим, является ли число 66 членом последовательности:

\[ n^2 - 2n + 3 = 66 \] \[ n^2 - 2n - 63 = 0 \]

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\[ D = (-2)^2 - 4 * 1 * (-63) = 4 + 252 = 256 \] \[ n = \frac{-(-2) ± \sqrt{256}}{2 * 1} = \frac{2 ± 16}{2} \]

n₁ = (2 + 16) / 2 = 18 / 2 = 9

n₂ = (2 - 16) / 2 = -14 / 2 = -7 (не подходит, так как n должно быть натуральным числом)

Значит, 66 является членом последовательности (9-м членом).

в) Проверим, является ли число 103 членом последовательности:

\[ n^2 - 2n + 3 = 103 \] \[ n^2 - 2n - 100 = 0 \]

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\[ D = (-2)^2 - 4 * 1 * (-100) = 4 + 400 = 404 \] \[ n = \frac{-(-2) ± \sqrt{404}}{2 * 1} = \frac{2 ± \sqrt{404}}{2} \]

Так как \(\sqrt{404}\) не является целым числом, то n не будет натуральным числом. Значит, 103 не является членом последовательности.

Ответ: a) да б) да в) нет