8. Докажите, что если последовательность (aₙ) являет- ся арифметической прогрессий, то a₂ + aₙ₋₂ = a₅ + aₙ₋₅.

Решение:

Докажем, что если последовательность (aₙ) является арифметической прогрессией, то a₂ + aₙ₋₂ = a₅ + aₙ₋₅.

В арифметической прогрессии aₙ = a₁ + (n - 1)d, где d - разность прогрессии.

Выразим a₂, aₙ₋₂, a₅ и aₙ₋₅ через a₁ и d:

a₂ = a₁ + d

aₙ₋₂ = a₁ + (n - 2 - 1)d = a₁ + (n - 3)d

a₅ = a₁ + 4d

aₙ₋₅ = a₁ + (n - 5 - 1)d = a₁ + (n - 6)d

Теперь сложим a₂ и aₙ₋₂:

a₂ + aₙ₋₂ = (a₁ + d) + (a₁ + (n - 3)d) = 2a₁ + (n - 2)d

Теперь сложим a₅ и aₙ₋₅:

a₅ + aₙ₋₅ = (a₁ + 4d) + (a₁ + (n - 6)d) = 2a₁ + (n - 2)d

Таким образом, a₂ + aₙ₋₂ = a₅ + aₙ₋₅ = 2a₁ + (n - 2)d, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано