6. Одна из граней прямоугольного параллелепипеда – квадрат. Диагональ параллелепипеда равна 10 и образует с плоскостью этой грани угол 30°. Найдите объем паралле- лепипеда.

Пусть дан прямоугольный параллелепипед $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$, у которого $$ABCD$$ - квадрат.

1) Диагональ параллелепипеда образует угол $$30^\circ$$ с плоскостью $$ABCD$$, значит, угол $$C_1AC = 30^\circ$$.

2) Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ACC_1$$.

Синус угла $$C_1AC$$ равен отношению противолежащего катета к гипотенузе, то есть

$$sin\angle C_1AC = \frac{CC_1}{AC_1}$$.

Так как $$AC_1 = 10$$, $$sin30^\circ = \frac{1}{2}$$, то

$$\frac{1}{2} = \frac{CC_1}{10}$$;

$$CC_1 = \frac{10}{2} = 5$$.

3) Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ACC_1$$.

По теореме Пифагора $$AC_1^2 = AC^2 + CC_1^2$$.

Так как $$AC_1 = 10$$ и $$CC_1 = 5$$, то

$$10^2 = AC^2 + 5^2$$;

$$AC^2 = 100 - 25 = 75$$;

$$AC = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}$$.

4) Так как $$ABCD$$ - квадрат, то его диагональ $$AC = a\sqrt{2}$$, где а - сторона квадрата.

$$a\sqrt{2} = 5\sqrt{3}$$;

$$a = \frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$$.

5) Объем параллелепипеда $$V = S_{осн} \cdot h$$, где $$S_{осн}$$ - площадь основания, h - высота.

$$V = a^2 \cdot CC_1 = (\frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{2}})^2 \cdot 5 = \frac{25 \cdot 3}{2} \cdot 5 = \frac{375}{2} = 187,5$$.

Ответ: 187,5