8. Найдите угол DC1D1 прямоугольного параллелепипеда, для которого AB = 5, AD = 4, АА₁ = 5. Дайте ответ в граду- сах.

1) Рассмотрим прямоугольный параллелепипед $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$.

Необходимо найти угол $$DC_1D_1$$.

2) Рассмотрим прямоугольник $$CDD_1C_1$$.

Угол $$DC_1D_1$$ является углом между диагоналями прямоугольника.

Диагонали прямоугольника равны, значит, $$DC_1 = D_1C_1$$, то есть треугольник $$DC_1D_1$$ - равнобедренный.

3) Так как диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам, то треугольники $$DC_1O$$ и $$D_1C_1O$$ - равнобедренные.

Значит, угол $$DC_1D_1 = 2 \cdot \angle C_1D_1D$$.

4) Рассмотрим прямоугольник $$CDD_1C_1$$.

$$CD = AB = 5$$, $$DD_1 = AA_1 = 5$$.

$$tg\angle C_1D_1D = \frac{CC_1}{C_1D_1} = \frac{5}{5} = 1$$.

$$\angle C_1D_1D = arctg(1) = 45^\circ$$.

5) $$\angle DC_1D_1 = 2 \cdot 45^\circ = 90^\circ$$.

Ответ: 90