Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Решение:

Многогранник состоит из двух прямоугольных параллелепипедов.

Нижний параллелепипед:

• Длина = 5
• Ширина = 6
• Высота = 3

Площадь поверхности нижнего параллелепипеда: \( 2 \cdot (5 \cdot 6 + 5 \cdot 3 + 6 \cdot 3) = 2 \cdot (30 + 15 + 18) = 2 \cdot 63 = 126 \).

Верхний параллелепипед:

• Длина = 4
• Ширина = 3
• Высота = 3

Площадь поверхности верхнего параллелепипеда: \( 2 \cdot (4 \cdot 3 + 4 \cdot 3 + 3 \cdot 3) = 2 \cdot (12 + 12 + 9) = 2 \cdot 33 = 66 \).

При составлении многогранника часть поверхности нижнего и верхнего параллелепипедов перекрывается. Нужно вычесть площади перекрытия.

Площадь перекрытия:

Нижняя часть верхнего параллелепипеда (4x3) накладывается на верхнюю грань нижнего параллелепипеда (5x6). Площадь перекрытия равна площади основания верхнего параллелепипеда, то есть \( 4 \cdot 3 = 12 \). Эта площадь вычитается из площади поверхности верхнего параллелепипеда (так как она теперь внутри).

Верхняя часть нижнего параллелепипеда (5x6) частично закрыта верхним параллелепипедом. Фактически, площадь, которая не видна с нижней стороны, это та же площадь перекрытия \( 4 \times 3 = 12 \).

Корректный расчет площади поверхности:

Площадь поверхности многогранника складывается из площадей видимых граней.

Нижний блок:

• Нижняя грань: \( 5 \times 6 = 30 \)
• Боковые грани (2 шт.): \( 5 \times 3 = 15 \)
• Боковые грани (2 шт.): \( 6 \times 3 = 18 \)
• Общая площадь боковых граней нижнего блока: \( 2 \times 15 + 2 \times 18 = 30 + 36 = 66 \)
• Часть верхней грани, которая не закрыта верхним блоком: \( (5 \times 6) - (4 \times 3) = 30 - 12 = 18 \)
• Итого площадь нижнего блока: \( 30 + 66 + 18 = 114 \)

Верхний блок:

• Нижняя грань (перекрытая): \( 4 \times 3 = 12 \) (не учитывается как внешняя)
• Передняя грань: \( 4 \times 3 = 12 \)
• Задняя грань: \( 4 \times 3 = 12 \)
• Левая грань: \( 3 \times 3 = 9 \)
• Правая грань: \( 3 \times 3 = 9 \)
• Верхняя грань: \( 4 \times 3 = 12 \)
• Итого площадь видимой поверхности верхнего блока: \( 12 + 12 + 9 + 9 + 12 = 54 \)

Общая площадь поверхности: \( 114 + 54 = 168 \).

Альтернативный расчет:

Можно рассмотреть все грани по отдельности.

Грань 1 (нижняя): \( 5 \times 6 = 30 \)

Грань 2 (передняя нижнего блока): \( 5 \times 3 = 15 \)

Грань 3 (задняя нижнего блока): \( 5 \times 3 = 15 \)

Грань 4 (левая нижнего блока): \( 6 \times 3 = 18 \)

Грань 5 (правая нижнего блока): \( 6 \times 3 = 18 \)

Грань 6 (верхняя часть нижнего блока, видимая): \( 5 \times 6 - 4 \times 3 = 30 - 12 = 18 \)

Грань 7 (передняя верхнего блока): \( 4 \times 3 = 12 \)

Грань 8 (задняя верхнего блока): \( 4 \times 3 = 12 \)

Грань 9 (левая верхнего блока): \( 3 \times 3 = 9 \)

Грань 10 (правая верхнего блока): \( 3 \times 3 = 9 \)

Грань 11 (верхняя верхнего блока): \( 4 \times 3 = 12 \)

Грань 12 (нижняя часть верхнего блока, невидимая, так как примыкает к нижнему блоку): \( 4 \times 3 = 12 \) (не учитывается).

Итого: \( 30 + 15 + 15 + 18 + 18 + 18 + 12 + 12 + 9 + 9 + 12 = 168 \).

Ответ: 168