9. Найдите значение выражения √2-√8sin²\frac{7π}{8} .

Решение:

$$\sqrt{2} - \sqrt{8 sin^2 \frac{7\pi}{8}} = \sqrt{2} - \sqrt{8} |sin \frac{7\pi}{8}| = \sqrt{2} - 2\sqrt{2} sin \frac{7\pi}{8}$$

Так как $$\frac{7\pi}{8}$$ лежит во второй четверти, синус положителен.

Используем формулу понижения степени: $$sin^2 x = \frac{1 - cos 2x}{2}$$. Тогда:

$$\sqrt{2} - \sqrt{8 sin^2 \frac{7\pi}{8}} = \sqrt{2} - \sqrt{8 \times \frac{1 - cos \frac{7\pi}{4}}{2}} = \sqrt{2} - \sqrt{4 (1 - cos \frac{7\pi}{4})} = \sqrt{2} - 2\sqrt{1 - cos \frac{7\pi}{4}}$$.

$$cos \frac{7\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$, тогда

$$\sqrt{2} - 2\sqrt{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}} = \sqrt{2} - 2\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}} = \sqrt{2} - \sqrt{4 \times \frac{2 - \sqrt{2}}{2}} = \sqrt{2} - \sqrt{2(2 - \sqrt{2})} = \sqrt{2} - \sqrt{4 - 2\sqrt{2}}$$.

Так как $$sin^2 x = \frac{1 - cos 2x}{2}$$, то $$sin \frac{7\pi}{8} = \sqrt{\frac{1 - cos \frac{7\pi}{4}}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$$.

Тогда

$$\sqrt{2} - \sqrt{8 sin^2 \frac{7\pi}{8}} = \sqrt{2} - \sqrt{8} sin \frac{7\pi}{8} = \sqrt{2} - 2\sqrt{2} \times \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} = \sqrt{2} - \sqrt{2} \sqrt{2 - \sqrt{2}} = \sqrt{2} (1 - \sqrt{2 - \sqrt{2}})$$.

$$\sqrt{2} - \sqrt{8} sin \frac{7\pi}{8} = \sqrt{2} - \sqrt{4 - 2\sqrt{2}} = \sqrt{2} - \sqrt{4 - 2\sqrt{2}}$$.

$$\sqrt{2} - \sqrt{4 - 2\sqrt{2}} = \sqrt{2} - \sqrt{2} \sqrt{2 - \sqrt{2}} = \sqrt{2} (1 - \sqrt{2 - \sqrt{2}})$$.

Ответ: $$\sqrt{2} (1 - \sqrt{2 - \sqrt{2}})$$