5. Катеты прямоугольного треугольника относятся как 3: 4, гипотенуза равна 20 см. Найдите площадь этого треугольника.

5. Дано: прямоугольный треугольник, отношение катетов a:b = 3:4, гипотенуза c = 20 см. Найти: площадь S.

Решение: Пусть катеты равны 3x и 4x. По теореме Пифагора: $$(3x)^2 + (4x)^2 = 20^2$$. $$9x^2 + 16x^2 = 400$$. $$25x^2 = 400$$. $$x^2 = 16$$. $$x = \sqrt{16} = 4$$. Тогда катеты равны: $$a = 3x = 3 \cdot 4 = 12$$ см, $$b = 4x = 4 \cdot 4 = 16$$ см. Площадь прямоугольного треугольника: $$S = \frac{1}{2}ab$$. Подставим значения: $$S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 16 = 6 \cdot 16 = 96$$ см².

Ответ: 96 см²