5. Катет прямоугольного треугольника равен 9 см, а гипотенуза и второй катет относятся как 5: 4. Найдите площадь этого треугольника.

5. Дано: прямоугольный треугольник, катет a = 9 см, отношение гипотенузы к другому катету c:b = 5:4. Найти: площадь S.

Решение: Пусть $$c = 5x$$ и $$b = 4x$$. По теореме Пифагора: $$a^2 + b^2 = c^2$$. $$9^2 + (4x)^2 = (5x)^2$$. $$81 + 16x^2 = 25x^2$$. $$9x^2 = 81$$. $$x^2 = 9$$. $$x = \sqrt{9} = 3$$. Тогда $$c = 5x = 5 \cdot 3 = 15$$ см и $$b = 4x = 4 \cdot 3 = 12$$ см. Площадь прямоугольного треугольника: $$S = \frac{1}{2}ab$$. Подставим значения: $$S = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 12 = 9 \cdot 6 = 54$$ см².

Ответ: 54 см²