342 Докажите, что если хорды окружности равноудалены от её центра, то они равны.

Ответ: Доказано

Пусть в окружности с центром O даны две хорды AB и CD, равноудаленные от центра. Это означает, что расстояния от центра O до хорд AB и CD равны. Опустим перпендикуляры OE и OF из центра O на хорды AB и CD соответственно. Тогда OE = OF.

Известно, что перпендикуляр, опущенный из центра окружности на хорду, делит эту хорду пополам. Следовательно, AE = EB = AB/2 и CF = FD = CD/2. Рассмотрим прямоугольные треугольники OAE и OCF.

В треугольниках OAE и OCF: OA = OC = r (радиусы окружности), OE = OF (по условию). По теореме Пифагора:

• В треугольнике OAE: AE² = OA² - OE²
• В треугольнике OCF: CF² = OC² - OF²

Так как OA = OC и OE = OF, то OA² = OC² и OE² = OF². Следовательно, AE² = CF², и AE = CF. Поскольку AE = AB/2 и CF = CD/2, то AB/2 = CD/2, и AB = CD. Таким образом, если хорды окружности равноудалены от её центра, то они равны.

Ответ: Доказано