343. Докажите, что если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу, то прямая является касательной к окружности.

Доказательство:
Пусть дана окружность с центром O и прямая a. Расстояние от центра O до прямой a равно радиусу R. Обозначим точку пересечения перпендикуляра, опущенного из точки O на прямую a, через K. Тогда OK = R.

Предположим, что прямая a пересекает окружность в какой-либо другой точке, отличной от K, например, в точке A. Тогда OA - это радиус окружности, и OA = R.

Получается прямоугольный треугольник \(\triangle OKA\), где OK - катет, OA - гипотенуза. В прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда больше катета. То есть OA > OK. Но у нас OA = R и OK = R. Получается противоречие: R > R, что невозможно.

Следовательно, наше предположение о том, что прямая a пересекает окружность в какой-либо другой точке, неверно. Значит, прямая a имеет только одну общую точку с окружностью, и эта точка K.

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной. Следовательно, прямая a является касательной к окружности, что и требовалось доказать.