Билет 4. 4. Внешний угол при вершине В треугольника АВС равен 102°. Биссектрисы углов А и С треугольника пересекаются в точке О. Найдите величину угла АОС. Дайте ответ в градусах.

Решение:

1. Внутренний угол \( \angle ABC = 180° - 102° = 78° \).
2. Сумма углов треугольника ABC равна 180°: \( \angle BAC + \angle ABC + \angle BCA = 180° \).
3. \( \angle BAC + 78° + \angle BCA = 180° \).
4. \( \angle BAC + \angle BCA = 180° - 78° = 102° \).
5. AO — биссектриса \( \angle BAC \), CO — биссектриса \( \angle BCA \).
6. \( \angle OAC = \frac{\angle BAC}{2} \) и \( \angle OCA = \frac{\angle BCA}{2} \).
7. Сумма углов в треугольнике AOC: \( \angle AOC + \angle OAC + \angle OCA = 180° \).
8. \( \angle AOC + \frac{\angle BAC}{2} + \frac{\angle BCA}{2} = 180° \).
9. \( \angle AOC + \frac{1}{2}(\angle BAC + \angle BCA) = 180° \).
10. Подставим значение \( \angle BAC + \angle BCA = 102° \): \( \angle AOC + \frac{1}{2}(102°) = 180° \).
11. \( \angle AOC + 51° = 180° \).
12. \( \angle AOC = 180° - 51° = 129° \).

Ответ: 129°.