Билет 3. 4. Углы треугольника АВС относятся так: ∠A:∠B:∠C=1:2:3. Биссектриса ВМ угла АВС равна 6. Найдите длину отрезка МС.

Решение:

1. Пусть \( \angle A = x \), \( \angle B = 2x \), \( \angle C = 3x \).
2. Сумма углов треугольника равна 180°: \( x + 2x + 3x = 180° \).
3. \( 6x = 180° \).
4. \( x = 30° \).
5. Значит, \( \angle A = 30° \), \( \angle B = 60° \), \( \angle C = 90° \). Треугольник ABC — прямоугольный.
6. BM — биссектриса угла B, значит, \( \angle ABM = \angle MBC = \frac{\angle B}{2} = \frac{60°}{2} = 30° \).
7. Рассмотрим треугольник ABM. \( \angle BAM = 30° \) и \( \angle ABM = 30° \). Следовательно, треугольник ABM равнобедренный, и \( AM = BM = 6 \).
8. Так как \( \angle C = 90° \), то MC — часть гипотенузы AC.
9. Рассмотрим прямоугольный треугольник BCM. \( \angle C = 90° \), \( \angle MBC = 30° \).
10. Противолежащий катет MC равен: \( MC = BM \cdot \sin(\angle MBC) \) — это неверно, угол MBC не противолежит MC.
11. В прямоугольном треугольнике BCM: \( \angle BMC = 180° - 90° - 30° = 60° \).
12. Из свойств прямоугольного треугольника с углами 30°, 60°, 90°: катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.
13. В треугольнике BCM, катет MC лежит против угла \( \angle MBC = 30° \). Нет, катет MC лежит против угла \( \angle BMC=60° \). Катет BC лежит против угла \( \angle BMC=60° \). Катет MC лежит против угла \( \angle MBC=30° \).
14. Гипотенуза треугольника BCM — это BM.
15. Следовательно, \( MC = \frac{BM}{2} = \frac{6}{2} = 3 \).

Ответ: 3.