9. Решите уравнение: \( \operatorname{tg} \left( \frac{3\pi}{2} + 3x \right) = 1 \)

Решение:

1. Используем формулу приведения \( \operatorname{tg} \left( \frac{3\pi}{2} + \alpha \right) = -\operatorname{ctg} \alpha \). В нашем случае \( \alpha = 3x \).
2. Таким образом, уравнение принимает вид: \( -\operatorname{ctg} (3x) = 1 \).
3. Умножим обе части на -1: \( \operatorname{ctg} (3x) = -1 \).
4. Мы знаем, что \( \operatorname{ctg} \alpha = -1 \) при \( \alpha = \frac{3\pi}{4} + \pi k \), где \( k \) — целое число.
5. Приравняем аргумент \( 3x \) к этому значению: \( 3x = \frac{3\pi}{4} + \pi k \).
6. Разделим обе части на 3, чтобы найти \( x \): \( x = \frac{3\pi}{4 \cdot 3} + \frac{\pi k}{3} \).
7. \( x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{3} \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{3} \), где \( k \in \mathbb{Z} \).