13. Вычислите: \( \lim_{x \to 3} \frac{x^2-3x}{x^2-9} \)

Решение:

При подстановке \( x = 3 \) в выражение мы получаем неопределенность вида \( \frac{0}{0} \). Раскроем её, разложив числитель и знаменатель на множители.

1. Разложим числитель: \( x^2 - 3x = x(x - 3) \).
2. Разложим знаменатель как разность квадратов: \( x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3) \).
3. Теперь перепишем предел с разложенными множителями: \( \lim_{x \to 3} \frac{x(x - 3)}{(x - 3)(x + 3)} \).
4. Сократим общий множитель \( (x - 3) \) (так как \( x \to 3 \), \( x \neq 3 \)): \( \lim_{x \to 3} \frac{x}{x + 3} \).
5. Теперь подставим \( x = 3 \) в полученное выражение: \( \frac{3}{3 + 3} = \frac{3}{6} \).
6. Упростим дробь: \( \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \).

Ответ: \( \frac{1}{2} \).