9. Образующая конуса равна 9 см и наклонена к плоскости основания под углом 60°. Вычислить площадь полной поверхности конуса.

Решение:

Площадь полной поверхности конуса находится по формуле \( S_{полн} = \pi r^2 + \pi r l \).

Дано:

• Образующая \( l = 9 \) см
• Угол наклона образующей к основанию \( \alpha = 60^{\circ} \)

Найти:

• \( S_{полн} \)

Вычисление:

1. Найдем радиус основания. В прямоугольном треугольнике, образованном радиусом, высотой и образующей, радиус противолежит углу \( 60^{\circ} \). \( r = l \sin(\alpha) \).
\[ r = 9 \text{ см} \cdot \sin(60^{\circ}) = 9 \text{ см} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{9\sqrt{3}}{2} \text{ см} \]
2. Найдем площадь основания: \( S_{осн} = \pi r^2 = \pi \left(\frac{9\sqrt{3}}{2} \text{ см}\right)^2 = \pi \frac{81 \cdot 3}{4} \text{ см}^2 = \frac{243\pi}{4} \text{ см}^2 \).
3. Найдем площадь боковой поверхности: \( S_{бок} = \pi r l = \pi \cdot \frac{9\sqrt{3}}{2} \text{ см} \cdot 9 \text{ см} = \frac{81\pi\sqrt{3}}{2} \text{ см}^2 \).
4. Найдем площадь полной поверхности: \( S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = \frac{243\pi}{4} \text{ см}^2 + \frac{81\pi\sqrt{3}}{2} \text{ см}^2 = \frac{243\pi + 162\pi\sqrt{3}}{4} \text{ см}^2 = \frac{81\pi(3 + 2\sqrt{3})}{4} \text{ см}^2 \).

Ответ: \( \frac{81\pi(3 + 2\sqrt{3})}{4} \text{ см}^2 \).