8. Решите уравнение: \(\log_4 (5 + 2x) = 4 \log_4 3\)

Решение:

1. Используем свойство логарифма \(n \log_b a = \log_b a^n\) для правой части уравнения:

\(\log_4 (5 + 2x) = \log_4 3^4\)

\(\log_4 (5 + 2x) = \log_4 81\)

2. Так как основания логарифмов равны, приравниваем аргументы:

\(5 + 2x = 81\)

3. Решаем полученное линейное уравнение:

\(2x = 81 - 5\)

\(2x = 76\)

\(x = \frac{76}{2} = 38\)

4. Проверим ОДЗ: \(5 + 2x > 0\). \(5 + 2 \cdot 38 = 5 + 76 = 81 > 0\). ОДЗ выполняется.

Ответ: 38.