11. Решите неравенство: \(\frac{x^2-16}{x+3} \le 0\)

Решение:

1. Найдем корни числителя и знаменателя:

Числитель: \( x^2 - 16 = 0 \implies x^2 = 16 \implies x = \pm 4 \).

Знаменатель: \( x + 3 = 0 \implies x = -3 \).

2. Расставим найденные точки на числовой оси: \( -4, -3, 4 \).

3. Определим знаки на интервалах, используя метод интервалов:

• При \( x > 4 \) (например, \( x=5 \)): \( \frac{5^2-16}{5+3} = \frac{9}{8} > 0 \).
• При \( -3 < x < 4 \) (например, \( x=0 \)): \( \frac{0^2-16}{0+3} = \frac{-16}{3} < 0 \).
• При \( -4 < x < -3 \) (например, \( x=-3,5 \)): \( \frac{(-3,5)^2-16}{-3,5+3} = \frac{12,25-16}{-0,5} = \frac{-3,75}{-0,5} > 0 \).
• При \( x < -4 \) (например, \( x=-5 \)): \( \frac{(-5)^2-16}{-5+3} = \frac{25-16}{-2} = \frac{9}{-2} < 0 \).

4. Учитывая знак \( \le 0 \), выбираем интервалы, где выражение отрицательно, и включаем корень числителя \( x = -4 \), но исключаем корень знаменателя \( x = -3 \).

\( x ∈ (-\infty; -4] \cup (-3; 4] \).

Ответ: \( x ∈ (-\infty; -4] \cup (-3; 4] \).