11. Решите неравенство: \(\frac{x^2-16}{x+3} \le 0\)

Решение:

1. Найдем корни числителя и знаменателя:

Числитель: \(x^2 - 16 = 0 \implies x^2 = 16 \implies x = \pm 4\).

Знаменатель: \(x + 3 = 0 \implies x = -3\).

2. Отметим эти точки на числовой оси и определим знаки выражения \(\frac{x^2-16}{x+3}\) в каждом интервале.

Интервалы: \((-\infty, -4]\), \([-4, -3)\), \((-3, 4]\), \([4, \infty)\).

• При \(x < -4\) (например, \(x = -5\)): \(\frac{(-5)^2-16}{-5+3} = \frac{25-16}{-2} = \frac{9}{-2} < 0\).

• При \(-4 < x < -3\) (например, \(x = -3.5\)): \(\frac{(-3.5)^2-16}{-3.5+3} = \frac{12.25-16}{-0.5} = \frac{-3.75}{-0.5} > 0\).

• При \(-3 < x < 4\) (например, \(x = 0\)): \(\frac{0^2-16}{0+3} = \frac{-16}{3} < 0\).

• При \(x > 4\) (например, \(x = 5\)): \(\frac{5^2-16}{5+3} = \frac{25-16}{8} = \frac{9}{8} > 0\).

3. Нам нужно \(\le 0\), поэтому подходят интервалы, где знак минус, а также точки, где числитель равен нулю (x=-4, x=4). Точка x=-3 (когда знаменатель равен нулю) не входит.

\((-\infty, -4] \cup (-3, 4]\)

Ответ: \((-\infty, -4] \cup (-3, 4]\).