4. Вычислите значение выражения: \(\cos 2x\), если \(\sin x = -0,4\), \(x \in III \text{ ч.} \)

Решение:

1. Используем основное тригонометрическое тождество \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\) для нахождения \(\cos x\).

\(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x = 1 - (-0,4)^2 = 1 - 0,16 = 0,84\).

Так как \(x \in III \text{ четверти} \), \(\cos x < 0\).

\(\cos x = -\sqrt{0,84} = -\sqrt{\frac{84}{100}} = -\frac{\sqrt{84}}{10} = -\frac{2\sqrt{21}}{10} = -\frac{\sqrt{21}}{5}\).

2. Используем формулу косинуса двойного угла \(\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x\).

\(\cos 2x = (-\frac{\sqrt{21}}{5})^2 - (-0,4)^2 = \frac{21}{25} - 0,16 = 0,84 - 0,16 = 0,68\).

Ответ: 0,68.