4. Вычислите значение выражения: \(\cos 2x\), если \(\sin x = -0,4\), \(x \in III \text{ ч.}\)

Решение:

1. Используем основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \). Найдем \( \cos^2 x \): \( \cos^2 x = 1 - \sin^2 x = 1 - (-0,4)^2 = 1 - 0,16 = 0,84 \).

2. Поскольку \( x \) находится в III четверти, \( \cos x \) отрицателен. \( \cos x = -\sqrt{0,84} = -\sqrt{\frac{84}{100}} = -\frac{\sqrt{4 \cdot 21}}{10} = -\frac{2\sqrt{21}}{10} = -\frac{\sqrt{21}}{5} \).

3. Используем формулу косинуса двойного угла: \( \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x \).

4. Подставим найденные значения: \( \cos 2x = 0,84 - (-0,4)^2 = 0,84 - 0,16 = 0,68 \).

Ответ: 0,68.