10. Найдите производную функции: \( y = 4x^2 - 2 \cos \frac{1}{2} x \)

Решение:

Найдем производную функции, используя правила дифференцирования:

1. Производная \( 4x^2 \) равна \( 4 \cdot 2x = 8x \).
2. Производная \( \cos \frac{1}{2} x \) равна \( -\sin \frac{1}{2} x \) умноженная на производную \( \frac{1}{2} x \), которая равна \( \frac{1}{2} \). То есть, производная \( \cos \frac{1}{2} x \) равна \( -\sin \frac{1}{2} x \cdot \frac{1}{2} \).
3. Теперь найдем производную всей функции: \( y' = (4x^2)' - (2 \cos \frac{1}{2} x)' \)
4. \( y' = 8x - 2 \left( -\sin \frac{1}{2} x \cdot \frac{1}{2} \right) \)
5. \( y' = 8x + 2 \cdot \sin \frac{1}{2} x \cdot \frac{1}{2} \)
6. \( y' = 8x + \sin \frac{1}{2} x \)

Ответ: \( y' = 8x + \sin \frac{1}{2} x \).