8. Два мотоциклиста одновременно отправились в 99-километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на 2 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 2 часа раньше второго. Найти скорость мотоциклиста, пришедшего к финишу вторым. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

1. Обозначим скорость второго мотоциклиста как v (км/ч).
2. Тогда скорость первого мотоциклиста будет v + 2 (км/ч).
3. Время, которое затратил второй мотоциклист на путь, равно 99/v часов.
4. Время, которое затратил первый мотоциклист на путь, равно 99/(v+2) часов.
5. По условию, первый мотоциклист прибыл на 2 часа раньше второго. Составим уравнение:
• \[ \frac{99}{v} - \frac{99}{v+2} = 2 \]
6. Приведем дроби к общему знаменателю:
• \[ \frac{99(v+2) - 99v}{v(v+2)} = 2 \]
• \[ \frac{99v + 198 - 99v}{v^2+2v} = 2 \]
• \[ \frac{198}{v^2+2v} = 2 \]
• Перемножим крест-накрест:
• \[ 198 = 2(v^2+2v) \]
• \[ 198 = 2v^2 + 4v \]
• Разделим все на 2:
• \[ 99 = v^2 + 2v \]
• Перенесем все в одну часть:
• \[ v^2 + 2v - 99 = 0 \]
7. Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант D = b² - 4ac:
• \[ D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-99) = 4 + 396 = 400 \]
• \[ \sqrt{D} = \sqrt{400} = 20 \]
• Найдем корни:
• \[ v_1 = \frac{-2 + 20}{2 \cdot 1} = \frac{18}{2} = 9 \]
• \[ v_2 = \frac{-2 - 20}{2 \cdot 1} = \frac{-22}{2} = -11 \]
• Так как скорость не может быть отрицательной, то v = 9 км/ч.
• Скорость второго мотоциклиста — 9 км/ч.
• Скорость первого мотоциклиста — 9 + 2 = 11 км/ч.
• Проверим время:
• Время второго: 99 / 9 = 11 часов.
• Время первого: 99 / 11 = 9 часов.
• Разница во времени: 11 - 9 = 2 часа. Условие выполнено.
• Задача просит найти скорость мотоциклиста, пришедшего вторым, то есть скорость второго мотоциклиста.

Ответ: 9