7) Решите уравнение \( \sin x = 1 \).

Решение:

Уравнение \( \sin x = 1 \) имеет частное решение \( x = \frac{\pi}{2} \).

Общее решение уравнения \( \sin x = c \) имеет вид \( x = (-1)^n \arcsin c + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

В данном случае \( \arcsin 1 = \frac{\pi}{2} \).

Тогда общее решение:

\( x = (-1)^n \frac{\pi}{2} + \pi n \)

Рассмотрим случаи для \( n \):

• Если \( n \) — чётное, \( n = 2k \), \( k \in \mathbb{Z} \): \( x = (-1)^{2k} \frac{\pi}{2} + \pi (2k) = 1 \cdot \frac{\pi}{2} + 2\pi k = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \).
• Если \( n \) — нечётное, \( n = 2k + 1 \), \( k \in \mathbb{Z} \): \( x = (-1)^{2k+1} \frac{\pi}{2} + \pi (2k+1) = -1 \cdot \frac{\pi}{2} + 2\pi k + \pi = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k + \pi = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \).

Оба случая дают одно и то же решение \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

Ответ: 3) \(\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\).