8) Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения \( \left(\frac{1}{25}\right)^{0.4x-2} = 125 \).

Решение:

Преобразуем обе части уравнения к одному основанию. Основание 5.

\( \frac{1}{25} = 5^{-2} \)

\( 125 = 5^3 \)

Подставим в уравнение:

\( (5^{-2})^{0.4x-2} = 5^3 \)

При возведении степени в степень показатели перемножаются:

\( 5^{-2(0.4x-2)} = 5^3 \)

\( 5^{-0.8x+4} = 5^3 \)

Приравниваем показатели степеней:

\( -0.8x + 4 = 3 \)

\( -0.8x = 3 - 4 \)

\( -0.8x = -1 \)

\( x = \frac{-1}{-0.8} = \frac{1}{0.8} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4} = 1.25 \)

Теперь определим, какому промежутку принадлежит \( x = 1.25 \).

• 1) \( [-4;0) \) - не подходит.
• 2) \( [0;1) \) - \( 1.25 \) не входит в этот интервал.
• 3) \( [1;4) \) - \( 1.25 \) входит в этот интервал, так как \( 1 \le 1.25 < 4 \).
• 4) \( [4;6) \) - не подходит.

Ответ: 3) [1;4).