9) Решите неравенство \( \frac{x-3}{(4x-2)(x+2)} \le 0 \).

Решение:

Для решения неравенства найдём корни числителя и знаменателя.

1. Корень числителя: \( x - 3 = 0 \) → \( x = 3 \).
2. Корни знаменателя: \( 4x - 2 = 0 \) → \( 4x = 2 \) → \( x = \frac{1}{2} \); \( x + 2 = 0 \) → \( x = -2 \).

Эти точки делят числовую прямую на интервалы: \( (-\infty; -2) \), \( (-2; \frac{1}{2}) \), \( (\frac{1}{2}; 3] \), \( [3; +\infty) \). (Число 3 включается, так как неравенство \( \le \), а -2 и 1/2 не включаются, так как на ноль делить нельзя).

Определим знак выражения \( \frac{x-3}{(4x-2)(x+2)} \) на каждом интервале:

• Интервал \( (-\infty; -2) \) (например, \( x = -3 \)): \( \frac{-3-3}{(4(-3)-2)(-3+2)} = \frac{-6}{(-12-2)(-1)} = \frac{-6}{(-14)(-1)} = \frac{-6}{14} < 0 \).
• Интервал \( (-2; \frac{1}{2}) \) (например, \( x = 0 \)): \( \frac{0-3}{(4(0)-2)(0+2)} = \frac{-3}{(-2)(2)} = \frac{-3}{-4} > 0 \).
• Интервал \( (\frac{1}{2}; 3] \) (например, \( x = 1 \)): \( \frac{1-3}{(4(1)-2)(1+2)} = \frac{-2}{(4-2)(3)} = \frac{-2}{(2)(3)} = \frac{-2}{6} < 0 \).
• Интервал \( [3; +\infty) \) (например, \( x = 4 \)): \( \frac{4-3}{(4(4)-2)(4+2)} = \frac{1}{(16-2)(6)} = \frac{1}{(14)(6)} > 0 \).

Нам нужно, где выражение \( \le 0 \). Это интервалы \( (-\infty; -2) \) и \( (\frac{1}{2}; 3] \).

Соединим их объединением: \( (-\infty; -2) \cup (\frac{1}{2}; 3] \).

Сравним с вариантами ответа:

• 1) \( (-2; \frac{1}{2}) \) - не подходит.
• 2) \( [-2; \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}; +\infty) \) - не подходит.
• 3) \( (-\infty; 3) \) - не подходит.
• 4) \( (-\infty; -2) \cup (\frac{1}{2}; 3] \) - подходит.

Ответ: 4) \( (-\infty; -2) \cup (\frac{1}{2}; 3] \).